-
משפט ואן קמפן
כל מה שרצית לדעת על משפט ואן קמפן:בטופולוגיה אלגברית, משפט ואן קמפן (van Kampen theorem) הוא משפט המאפשר למצוא חבורה יסודית של מרחב טופולוגי באמצעות מכפלת היתוך של החבורות היסודיות של שתי תתי קבוצות פתוחות שלו, המקיימות תנאים מסוימים. זהו משפט יסודי וחשוב בטופולוגיה אלגברית, המהווה את אחד הכלים המרכזיים לחישוב חבורות יסודיות. בפרט, משתמשים…
-
משפט החיתוך של קנטור
כל מה שרצית לדעת על משפט החיתוך של קנטור:המשפט קובע כי מרחב מטרי הוא שלם אם ורק אם לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות ולא ריקות במרחב בעלות קוטר ששואף לאפס, חיתוך כל קבוצות הסדרה אינו ריק. קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה.דוגמה לשימוש במשפט זה היא העובדה שכל קבוצה סגורה ובת מניה…
-
הלמה של לינדלף
כל מה שרצית לדעת על הלמה של לינדלף:בטופולוגיה, הלמה של לינדלף היא למה הקובעת שמרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב לינדלף.הלמה היא ניסוח כללי יותר של העיקרון לפיו כל קבוצה פתוחה בישר הממשי היא איחוד בן-מנייה של קטעים פתוחים. נלקח מויקיפדיה הגדרות נוספות הקשורות להלמה של לינדלף:•משפטים בטופולוגיה•הוכחות
-
משפט ארצלה-אסקולי
כל מה שרצית לדעת על משפט ארצלה-אסקולי:באנליזה פונקציונלית, משפט אַרְצֶלָה-אַסְקוֹלִי (Arzelà–Ascoli, נקרא גם משפט אסקולי) מעניק איפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס. נלקח מויקיפדיה הגדרות נוספות הקשורות למשפט ארצלה-אסקולי:•משפטים באנליזה פונקציונלית•הוכחות•משפטים בטופולוגיה
-
משפט טיכונוף
כל מה שרצית לדעת על משפט טיכונוף:בטופולוגיה, משפט טיכונוף קובע שאם { ( X i , τ i ) } i ∈ I {\displaystyle \left\{(X_{i},\tau _{i})\right\}_{i\in I}} משפחה של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים, אז גם מרחב המכפלה ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \ \prod _{i\in I}X_{i}} קומפקטי. המשפט נחשב אחד המשפטים החשובים ביותר…
-
משפט בורסוק-אולם
כל מה שרצית לדעת על משפט בורסוק-אולם:בטופולוגיה, משפט בורסוק-אוּלַם הוא משפט מתמטי הקובע שכל פונקציה רציפה מהספירה ה-n ממדית למרחב האוקלידי ה-n ממדי מעתיקה שתי נקודות אנטיפודיות כלשהן לאותה נקודה. למשפט אינספור שימושים בטופולוגיה וגם בתחומים שנדמים לא קשורים, כגון בקומבינטוריקה ובמדעי המחשב.הוכחה ראשונה של המשפט פורסמה ב-1933 על ידי המתמטיקאי הפולני קרול בורסוק. במאמרו…
-
משפט ההרחבה של טיצה
כל מה שרצית לדעת על משפט ההרחבה של טיצה:בטופולוגיה, משפט ההרחבה של טיצה הוא משפט בסיסי לגבי מרחבים נורמליים. קיימים מספר ניסוחים שקולים למשפט הזה, והם מציינים באופן כללי שבמרחב נורמלי ניתן להרחיב פונקציה שרציפה על קבוצה סגורה לפונקציה רציפה על כל המרחב. המשפט למעשה מספק תנאי הכרחי ומספיק לכך שמרחב טופולוגי יהיה נורמלי.נשים לב…
-
השערת פואנקרה
כל מה שרצית לדעת על השערת פואנקרה:במתמטיקה, השערת פואנקרה היא משפט המאפיין את הספירה התלת-ממדית מבין כל היריעות מאותו ממד. ההשערה, שהציע אנרי פואנקרה בשנת 1904, נחשבה במשך שנים לאחת הבעיות הפתוחות החשובות ביותר בטופולוגיה. היא נבחרה על ידי מכון קליי כאחת משבע בעיות המילניום, שעבור פתרון מלא של אחת מהן מציע המכון פרס כספי…
-
משפט לוסטרניק-שנירלמן
כל מה שרצית לדעת על משפט לוסטרניק-שנירלמן:המשפט שוער לראשונה במאמר של לזר לוסטרניק ולב שנירלמן מ-1930. המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם שהוכח ב-1933.למעשה נכון משפט כללי יותר שמכליל את שתי הגרסאות המקוריות של המשפט:בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות, שכל אחת מהן פתוחה או סגורה, יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות. נלקח מויקיפדיה הגדרות…
-
משפט אוריסון
כל מה שרצית לדעת על משפט אוריסון:באופן כללי יותר, המשפט (עם אותה הוכחה) מראה שכל מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב סמי-מטרי.מעבר לזה, המשפט מראה שמרחבי T3 (ובפרט, מרחבי האוסדורף קומפקטיים) בעלי בסיס בן מנייה הם תת-מרחבים של מרחב הסדרות , ובכך הוא מבסס את המרכזיות של המרחב האחרון בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית.…